Astérisque, n° 445. The connes character formula for locally compact spectral triples

Cet ouvrage est dédié à la construction et au contrôle d'une paramétrix pour l'équation des ondes homogène □_gø = 0, oùgest une métrique peu régulière satisfaisant les équations d'Einstein dans le vide. Le contrôle d'une telle paramétrix ainsi que du terme d'erreur associé lorsque l'on suppose seulement des bornes L² sur le tenseur de courbure R de gest une étape cruciale de la preuve de la conjecture de courbure L² proposée dans Klainerman (2000), et résolue dans Klainerman, Rodnianski & Szeftel (2015). Plus généralement, cet ouvrage concerne le contrôle de l'équation eikonale sur un espace-temps peu régulier et la dérivation de bornes L² pour des opérateurs intégraux de Fourier sur des variétés avec une phase et un symbole peu réguliers, et possède de ce point de vue un intérêt propre.

This book is dedicated to the construction and the control of a parametrix to the homogeneous wave equation □_gø = 0, where g is a rough metric satisfying the Einstein vacuum equations. Controlling such a parametrix as well as its error term when one only assumes L² bounds on the curvature tensor R of g is a major step of the proof of the bounded L² curvature conjecture proposed in Klainerman (2000), and solved jointly in Klainerman, Rodnianski & Szeftel (2015). On a more general level, this book deals with the control of the eikonal equation on a rough background, and with the derivation of L² bounds for Fourier integral operators on manifolds with rough phases and symbols, and as such is also of independent interest.