Les constructions des nombres réels : dans le mouvement d'arithmétisation de l'analyse

Les constructions des nombres réels ne figurent pas toujours au programme de l'enseignement supérieur, et on méconnaît souvent, plus encore, leur contexte et leur genèse, ainsi que les autres recherches concernant le fondement de ces nombres. Ces recherches constituent un mouvement qui eut lieu simultanément en France et en Allemagne à la fin du XIX^e siècle, que l'on désigne, à la suite de Félix Klein, par «arithmétisation de l'analyse», et qui inaugure la conception moderne des mathématiques. C'est alors «sous le signe du nombre» que, selon l'expression de Hilbert, les mathématiques furent placées, et c'est à partir des seules opérations arithmétiques que les concepts de l'analyse et les propriétés des fonctions furent définis. Mais loin d'être uniforme ce mouvement prit des directions différentes, voire opposées. Les nombres irrationnels, en particulier, seront rigoureusement construits à partir des nombres rationnels ou, à l'inverse, exclus de l'analyse. Une classification nouvelle des disciplines mathématiques apparaît : l'analyse «arithmétisée» accède au statut de science pure, soit aux côtés de l'arithmétique et de l'algèbre, soit englobant ces deux disciplines.

Cet ouvrage a pour objectif de rassembler les principaux textes originaux qui ont marqué ce mouvement et de faire figurer à côté des grands textes classiques mais difficilement accessibles de Dedekind et Cantor, dont il est proposé des traductions nouvelles, des textes moins connus, mais dont l'intérêt, tant historique que mathématique et philosophique, est manifeste. Chaque texte de référence, traduit en français lorsqu'il s'agit d'un texte en allemand, sera précédé d'une courte biographie de son auteur et d'une introduction destinées à l'éclairer en le situant dans l'œuvre de l'auteur et en le comparant aux autres textes cités.