Mémoires de la Société mathématique de France, n° 177. Projections, multipliers and decomposable map

On introduit un analogue non commutatif de la valeur absolue d'un opérateur régulier agissant sur un espace L^p non commutatif. Nous prouvons également que deux normes classiques d'opérateurs, la norme régulière et la norme décomposable sont identiques. On décrit aussi précisément la norme régulière de plusieurs classes de multiplicateurs réguliers. Cela inclut les multiplicateurs de Schur et les multiplicateurs de Fourier sur certains groupes localement compacts unimodulaires qui peuvent être approximés par des groupes discrets dans des sens variés. Le principal ingrédient est l'existence d'une projection bornée de l'espace des opérateurs complètement bornés sur l'espace des multiplicateurs de Schur ou de Fourier, préservant la positivité complète. Par ailleurs, on montre l'existence de multiplicateurs de Fourier bornés qui ne peuvent être approximés par des opérateurs réguliers, sur de larges classes de groupes localement compacts, incluant tous les groupes localement compacts abéliens infinis. On termine en introduisant une procédure générale pour prouver des résultats positifs sur les multiplicateurs de Fourier contractivement décomposables autoadjoints, au-delà du cas moyennable.

We introduce a noncommutative analogue of the absolute value of a regular operator acting on a noncommutative L^p-space. We equally prove that two classical operator norms, the regular norm and the decomposable norm are identical. We also describe precisely the regular norm of several classes of regular multipliers. This includes Schur multipliers and Fourier multipliers on some unimodular locally compact groups which can be approximated by discrete groups in various senses. A main ingredient is to show the existence of a bounded projection from the space of completely bounded L^p operators onto the subspace of Schur or Fourier multipliers, preserving complete positivity. On the other hand, we show the existence of bounded Fourier multipliers which cannot be approximated by regular operators, on large classes of locally compact groups, including all infinite abelian locally compact groups. We finish by introducing a general procedure in order to prove positive results on selfadjoint contractively decomposable Fourier multipliers, beyond the amenable case.