La magie du carré : le carré dans tous ses éclats

La magie du carré

Le carré dans tous ses éclats

«Ce qui importe, c'est de prendre quelque chose de tout à fait arbitraire, d'artificiel et le pratiquer pendant un temps assez long: tout à coup on finit par découvrir des diamants dans ce monceau d'artifices.», a déclaré François Le Lionnais. Source incomparable de sujets d'intérêts multiples, le carré est considéré comme magique à plus d'un titre, cette magie pouvant prendre plusieurs formes: mathématique, ludique, ésotérique...

En mathématiques, le carré occupe une place particulière. Il existe par exemple un groupe d'opérations invariantes du carré; ces opérations géométriques conservent la forme et les dimensions du carré dans son plan: la translation vectorielle, la rotation, la symétrie par rapport à un point et la symétrie par rapport à une droit. Ian Stewart ajoute une autre opération... ne rien faire du tout!

Et, hors du plan, on peut étendre ces investigations à l'espace. Le carré appartient à l'espace bidimensionnel: il se déplace dans un plan indéfini. Il en serait de même d'un carré curviligne (en forme de coquille d'oeuf qui se déplacerait sur une sphère: son univers bidimensionnel serait alors la surface bien délimintée de la sphère. Mais rien ne l'empêche d'explorer l'espace tridimensionnel, et pourquoi pas un autre espace pluridimensionnel. On peut imaginer sans peine un carré traversant l'un des cinq polyèdres réguliers platoniciens autres que le cube, mais nous éprouvons autant de difficultés à imaginer un univers à quatre dimensions qu'un carré pourrait en éprouver à imaginer notre espace à trois dimensions.

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Les solutions des très nombreux problèmes exposés ici sont généralement données à la suite de l'énoncé; cependant, certaines propriétés intéressant le carré n'étant pas encore démontrées, certains problèmes ne comportent pas de solution!